集合の問題：3つとも持っている人数の最小値
R大学の学生100人について、 パソコンを持っている人が75人、携帯電話を持っている人が80人、自家用車を持っている人が60人である。
3つとも持っている人数を M人 とするとき、Mの最小値を求める。
考え方
ベン図で、次のように人数を置く。
- x：パソコンと携帯だけを持っている人
- y：携帯と車だけを持っている人
- z：車とパソコンだけを持っている人
- M：3つとも持っている人
このとき、少なくとも
x + y + z + M ≦ 100
が成り立つ。 なぜなら、x, y, z, M はすべて別々の場所にいる人たちで、全体100人の中に入っているからである。
各集合から不等式を作る
パソコンを持っている人は75人なので、
パソコンだけ + x + z + M = 75
携帯電話を持っている人は80人なので、
携帯だけ + x + y + M = 80
自家用車を持っている人は60人なので、
車だけ + y + z + M = 60
ここで、「だけ」の人数は0人以上なので、
x + z + M ≦ 75
x + y + M ≦ 80
y + z + M ≦ 60
x + y + M ≦ 80
y + z + M ≦ 60
ではなく、今回は逆に、全体100人から考えていく方が見やすい。
2つ以上持っている人に注目する
パソコンと携帯を持っている人の最小値は、
75 + 80 – 100 = 55
よって、
x + M ≧ 55
同じように、
携帯と車：80 + 60 – 100 = 40
車とパソコン：60 + 75 – 100 = 35
車とパソコン：60 + 75 – 100 = 35
したがって、
x + M ≧ 55
y + M ≧ 40
z + M ≧ 35
y + M ≧ 40
z + M ≧ 35
3つの不等式を足す
3つを足すと、
x + y + z + 3M ≧ 130
一方で、最初に確認したように、
x + y + z + M ≦ 100
ここで、上の式から下の式を比べる。
x + y + z + 3M ≧ 130
x + y + z + M ≦ 100
x + y + z + M ≦ 100
同じ x + y + z が入っているので、差を見ると、
2M ≧ 30
よって、
M ≧ 15
したがって、3つとも持っている人数の最小値は
15人
なぜこの解き方が大事か
この問題では、AかつB、BかつC、CかつA の最小値をそれぞれ求めるだけでは足りない。
なぜなら、3つとも持っている人 M は、それぞれの共通部分に重なって入ってしまうからである。
そこで、x, y, z, M とベン図の場所ごとに分けて、
x + y + z + M ≦ 100
という全体の制限に持ち込むのがポイントである。
おまけ：別解
(1)より、パソコンと携帯の両方を持っている人は最低55人いる。
一方、自家用車を持っていない人は、
100 – 60 = 40人
である。
つまり、パソコンと携帯の両方を持っている55人のうち、車を持っていない側に逃がせるのは最大40人まで。
したがって、残りの
55 – 40 = 15人
は、必ず車も持っている。
よって、この考え方でも
Mの最小値は15人
となる。