中1数学「比例・反比例」を基礎から解説｜式・表・グラフのつなぎ方

比例・反比例で大切なのは、式だけを暗記することではありません。二つの数量がどう変わるかを、式・表・グラフの三つで同じ関係として見ることです。

比例とは何か

1本120円のペンをx本買うと代金y円は y=120x です。xが2倍、3倍になるとyも2倍、3倍になります。この関係を比例といい、a=120を比例定数といいます。

比例では x≠0 のとき y/x=a が一定です。表を見たときは、y÷xがどの組でも同じかを確かめます。

反比例とは何か

面積24cm²の長方形で、横をx cm、縦をy cmとすると xy=24、つまり y=24/x です。xが2倍になるとyは1/2倍になり、積xyは24のままです。

反比例では xy=a が一定です。「差」や「商」ではなく積を見るのが要点です。

表から式を作る

比例の場合

x=2のときy=6なら、a=y/x=3なので y=3x です。

反比例の場合

x=3のときy=8なら、a=xy=24なので y=24/x です。

まず比例か反比例かを決め、比例なら割り算、反比例なら掛け算でaを求めます。

グラフの特徴

• 比例 y=ax：原点を通る直線
• a>0：右上がり、a<0：右下がり
• 反比例 y=a/x：二つに分かれた曲線
• a>0：第1・第3象限、a<0：第2・第4象限

グラフは点を線で結ぶ作業ではありません。各点は「xとyの値の組」を表します。座標(x,y)の順を逆にしないようにします。

文章題の進め方

1. 変わる二つの数量をx、yとする
2. xが増えたときyがどう変わるか考える
3. 比例ならy=ax、反比例ならy=a/xと置く
4. 与えられた値からaを求める
5. 単位を含めて答える

「時速60kmでx時間進む距離y km」は y=60x。「120kmを時速x kmで進む時間y時間」は y=120/x です。同じ速さの話でも、何を固定するかで関係は変わります。

よくある間違い

• 比例定数をx/yで求める
• y=axのaと切片を混同する
• 比例のグラフが原点を通らない
• 反比例を「xが増えたらyが減る関係」だけで判断する
• 座標を(y,x)の順に書く

「増えたら減る」だけでは反比例とは限りません。xyが一定になるかまで確認します。

どこまで戻ればよいか

1. 正負の数を計算できる
2. 文字式へ数を代入できる
3. 一次方程式を解ける
4. 座標を打てる
5. 表・式・グラフを往復する

代入や式変形で止まる場合は文字式と一次方程式へ戻ります。

確認問題

1. yはxに比例し、x=4のときy=12。yをxの式で表す。
2. yはxに反比例し、x=6のときy=5。yをxの式で表す。
3. y=-2xでx=-3のときのy。
4. y=24/xでy=4のときのx。

次につながる単元

比例の式とグラフは、中2の一次関数へつながります。一次関数では原点を通らない直線も扱います。比例で式・表・グラフを往復できるようにしておくと理解が安定します。