中3数学「円」を基礎から解説｜円周角の定理・中心角・接線

中3の円で中心になるのは円周角の定理です。角だけを見るのではなく、その角がどの弧を見ているかを確認します。

円周角と中心角

弧ABに対する中心角∠AOBが100°なら、同じ弧ABに対する円周角∠APBは50°です。逆に円周角が35°なら中心角は70°です。

同じ弧を見る角

円周上の点PとQから同じ弧ABを見ると、∠APB=∠AQBです。点の位置や図の傾きが変わっても、見ている弧が同じなら角は等しくなります。

直径を見込む円周角

ABが直径なら、弧ABに対する中心角は180°です。その半分なので、円周上の点Pに対する∠APBは90°になります。直角を見つける重要な手掛かりです。

円に内接する四角形

円に内接する四角形では、向かい合う角の和が180°です。外角は、それと向かい合う内角に等しくなります。どの四点が同じ円周上にあるかを先に確認します。

接線と半径

円の接線は、接点へ引いた半径と垂直です。接点が示されたら、中心と結んで90°を作れないか確認します。

よくある間違い

• 中心角と円周角の2倍・半分を逆にする
• 同じ弧を見ていない角を等しいとする
• 直径でない弦を見て90°とする
• 図の見た目だけで四点が同一円周上と決める
• 接線と弦が垂直だと誤解する

どこまで戻ればよいか

1. 三角形の内角・外角
2. 平行線と角
3. 弧・弦・中心角の用語
4. 合同・相似
5. どの弧を見ているかの確認

確認問題

1. 中心角が120°のとき、同じ弧に対する円周角。
2. 円周角が42°のとき、同じ弧に対する中心角。
3. 直径ABを見込む円周角∠APB。
4. 円に内接する四角形で一つの角が68°。対角の大きさ。

次につながる単元

円周角は相似や三平方と組み合わされ、入試図形の複合問題になります。まずは角の根拠を一つずつ言葉にできる状態を作ります。