数学IIでは、関数f(x)の原始関数をF(x)とすると、
と計算し、これを面積問題へ使います。
「積分＝面積」と覚えてしまいがちですが、なぜつながるのでしょうか。直観的には細い長方形の和、数学IIの考え方では面積関数の微分を見ると理解できます。
面積を細い長方形に分ける
f(x)がx軸より上にあるとします。
区間[a,b]を細かく分け、それぞれの幅を小さなΔxとします。
一つ一つの細い部分を長方形とみなせば、面積はおよそ
「高さf(x)×幅Δx」
です。
それを全部足せば、曲線の下の面積へ近づきます。
分割をどんどん細かくすると、長方形と曲線のすき間が小さくなり、和は本当の面積へ近づきます。定積分の記号は、この「細かい量を足し合わせる」発想を表しています。
面積関数S(x)を考える
固定した点aからxまでの面積をS(x)とします。
xをほんの少しhだけ増やすと、増えた面積は細い帯です。
その帯の面積はおよそ
なので、
はhが小さいほどf(x)へ近づきます。
つまり、
と考えられます。
面積関数はfの原始関数になる
S'(x)=f(x)なら、S(x)はf(x)の原始関数です。
fの原始関数をFとすれば、SとFの違いは定数だけです。
そしてaからbまでの面積は
です。これが
と一致します。
だから定積分を原始関数の差で計算すると面積が得られます。
微分と積分は逆向きの操作
微分は「一点でどれくらい増えているか」を取り出す操作です。
積分は「小さな増加を積み上げて全体の変化量を戻す」操作です。
面積関数Sを微分すると高さfに戻り、fを積分すると面積の変化量へ戻ります。
この逆向きの関係が微積分の中心です。微分係数が接線の傾きになる理由と合わせると、両方が「細かく見る」という同じ発想から生まれていることが分かります。
x軸より下ではなぜマイナスになる？
f(x)<0の部分では、定積分は負の値を持ちます。
これは定積分が通常の「面積の大きさ」だけでなく、x軸より上を正、下を負とする符号付き面積を表しているためです。
したがって図形的な面積を求める問題では、x軸より下の部分をそのまま定積分すると負になるので、絶対値を取る、区間を分けるなどの処理が必要です。
符号付き面積だと何が便利なのか
普通の図形の面積なら負の値は不自然に見えます。しかし積分では、上側の増加と下側の減少を符号付きで足せることに意味があります。
たとえば速度v(t)を時間で積分すると位置の変化量が得られます。速度が正なら正方向へ進み、負なら逆方向へ進むので、単純な「移動した距離」ではなく正負を含む変位として足し合わせる必要があります。
関数のグラフでも同じで、x軸より上を正、下を負として扱うことで、積分は単なる面積計算ではなく小さな変化量の総和として一つのルールで使えます。
面積そのものを求めるときは区間を分ける
たとえばf(x)=xを-1から1まで積分すると、左側の負の部分と右側の正の部分が打ち消し合い、定積分は0になります。
しかし図形としての面積は0ではありません。左側の三角形も右側の三角形も面積1/2なので、合計1です。
したがって「定積分の値」と「図形的な面積」は同じとは限りません。面積を求める問題では、x軸との交点で区間を分け、それぞれが正の面積になるように処理します。この区別を持つと、面積問題の符号ミスを減らせます。
面積問題では交点を先に求める
二つの曲線で囲まれた面積なら、基本は
「上の関数－下の関数」
を積分します。
ただし途中で上下関係が入れ替わるなら区間を分けます。
積分計算だけでなく、どの区間でどちらが上かを見ることが重要です。
別分野の概念解説として判別式で解の個数が分かる理由もあります。
確認問題
f(x)=x、0≤x≤2で、グラフとx軸に囲まれる面積を求めます。
原始関数はx²/2なので、
です。
図形で見ても底辺2、高さ2の三角形なので面積2になり一致します。
まとめ
定積分が面積を表す理由は、
- 曲線下の領域を細い長方形に分けて足す
- 面積関数S(x)を微分するとf(x)になる
- したがって面積の変化量は原始関数の差F(b)-F(a)で求められる
というつながりにあります。
「積分＝面積」という暗記より、小さな面積を積み上げ、微分の逆操作で全体を戻していると捉える方が、応用問題でも使いやすくなります。
この記事は文部科学省の高等学校学習指導要領・教科書関連資料で範囲を確認し、説明と問題は独自に作成しています。