微分では、
を点x=aにおける接線の傾きとして使います。
この式を最初に見ると、なぜ急にhを0へ近づけるのか分かりにくいですが、出発点は中学以来の「傾き」です。
2点があれば直線の傾きは求められる
曲線y=f(x)上に
- A(a,f(a))
- B(a+h,f(a+h))
という2点を取ります。
AとBを結ぶ直線の傾きは、
=\frac{f(a+h)-f(a)}h\]
です。
これは区間[a,a+h]での平均変化率です。
BをAへ近づける
今欲しいのはA一点での曲線の向きです。
しかし1点だけでは「変化量÷横の変化量」を作れません。そこで一度、少し離れたBを用意して直線ABの傾きを求めます。
その後、hを小さくしてBをAへ近づけます。
BがAへ近づくほど、直線ABはAで曲線に沿う直線へ近づきます。その極限として得られる直線が接線です。
したがって、割線ABの傾きの極限が接線の傾きになります。
h=0を直接代入しない理由
「Aへ近づけたいならh=0にすればよい」と思うかもしれません。
しかしh=0を直接入れると、
となり0/0で計算できません。
だからhを0にするのではなく、0ではない値のまま限りなく近づけたとき、傾きがどの値へ近づくかを調べます。
ここが極限を使う理由です。
f(x)=x²で実際に見る
f(x)=x²、a=2とします。
平均変化率は、
です。
展開すると、
hを0に近づけると4へ近づきます。
したがってx=2での接線の傾きは4です。
実際、f'(x)=2xなのでf'(2)=4と一致します。
数値を近づけてみると極限の意味が見える
同じf(x)=x²、a=2で、hを実際に小さくしてみます。
平均変化率は4+hなので、
- h=1なら5
- h=0.1なら4.1
- h=0.01なら4.01
- h=-0.1なら3.9
- h=-0.01なら3.99
です。
右側から近づけても左側から近づけても4へ近づいています。ここで重要なのは、h=0の値を計算しているのではなく、0のすぐ近くで得られる傾きの行き先を調べていることです。
グラフ上ではBがAへ近づくにつれて、2点を結ぶ割線が少しずつ回転し、最終的な向きとして接線へ近づきます。式の極限と図形の動きは同じ現象を表しています。
接線の方程式までどうつながる？
x=aでの接線の傾きがf'(a)と分かれば、接線は点(a,f(a))を通るので、直線の公式から
と書けます。
つまり「微分して終わり」ではなく、微分係数で傾きを求め、元の関数から接点の座標を取り出すことで接線そのものが決まります。
「瞬間の速さ」も同じ考え方
位置を時間の関数s(t)で表すと、
は短い時間区間の平均速度です。
hを0へ近づければ、一瞬の速度を表す値になります。
接線の傾きと瞬間速度は別の公式ではなく、どちらも「区間の平均を限界まで短くして一点の変化率を作る」という同じ考え方です。
微分できない点もある
どんなグラフでも接線の傾きが一つに決まるとは限りません。
鋭い角がある点では、左から近づいた傾きと右から近づいた傾きが一致しないことがあります。その場合、その点では通常の意味で微分可能ではありません。
つまり微分係数は「必ず存在する公式値」ではなく、極限が一つに定まるときに存在します。
積分との関係は定積分が面積を表すのはなぜかで整理しています。別分野の概念解説は平方完成はなぜするのかも参照してください。
確認問題
f(x)=x²+1について、x=3での微分係数を定義から求めます。
=\frac{6h+h^2}{h}=6+h\]
h→0で6です。
したがってx=3での接線の傾きは6です。
まとめ
微分係数が接線の傾きになる流れは、
- 曲線上の2点を結び、平均変化率を求める
- 片方の点を基準点へ近づける
- 割線の傾きが近づく値を極限で求める
- その値を接線の傾きとする
です。
式を先に暗記するより、2点の傾きを1点の傾きへ近づけていると理解すると、微分の定義が自然につながります。
この記事は文部科学省の高等学校学習指導要領・教科書関連資料で範囲を確認し、説明と問題は独自に作成しています。