図形の証明は、文章力を試す作文ではありません。仮定から結論まで、使った事実と根拠を順番に並べる作業です。型を決めると、何を書けばよいかが見えます。
先に結論
最初に仮定と結論を分け、合同を示したい二つの三角形を決めます。等しい辺・角を根拠付きで三つ集め、合同条件を書き、最後に合同から結論を導きます。
仮定と結論
仮定は問題文で与えられた条件、結論は証明したいことです。「AB=ACである△ABCにおいて、∠B=∠Cを証明せよ」なら、仮定はAB=AC、結論は∠B=∠Cです。
証明の途中で結論を根拠として使うと循環します。まだ証明していないことを「図を見ると等しい」と扱ってはいけません。
合同証明の基本形
- どの二つの三角形について考えるかを書く
- 等しい辺・角と、それぞれの根拠を書く
- 合同条件を書く
- 二つの三角形が合同だと結論づける
- 合同な図形の対応する辺・角が等しいことから、求める結論を書く
証明例
線分ABとCDが点Oで交わり、AO=CO、BO=DOとします。△AOBと△CODの合同を示します。
AO=CO、BO=DOは仮定です。∠AOB=∠CODは対頂角です。したがって、二組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、△AOB≡△CODです。
このように「等しい事実」と「なぜ等しいか」を一組にして書きます。
よく使う根拠
- 仮定より
- 共通な辺だから
- 対頂角だから
- 平行線の錯角・同位角だから
- 角の二等分線だから
- 中点だから
- 合同な図形の対応する辺・角だから
二等辺三角形と平行四辺形
二等辺三角形では、二つの底角が等しくなります。逆に、二つの角が等しい三角形は、その角に向かい合う二辺が等しい二等辺三角形です。
平行四辺形は「二組の対辺がそれぞれ平行」が定義です。対辺が等しい、対角が等しい、対角線が互いの中点で交わる、といった性質は合同を使って証明できます。
よくある間違い
- 証明したい結論を途中の根拠に使う
- 等しいと書くだけで根拠を書かない
- 三角形の対応順がずれる
- 合同条件を省略する
- 合同まで示して、求める辺・角の結論を書かない
どこまで戻ればよいか
- 仮定と結論を色分けする
- 対応する三角形を決める
- 角と辺を一つずつ探す
- 合同条件を選ぶ
- 合同から結論へつなぐ
合同条件や錯角の判定で止まる場合は、中2「平行線と合同」へ戻ります。
確認問題
- 問題文で与えられた条件を何というか。
- 交わる二直線で向かい合う角が等しい根拠は何か。
- △ABC≡△DEFから∠B=∠Eを導くときの根拠は何か。
- 合同証明の最後に、合同だけで終わってよいか。
答えを確認する
- 仮定
- 対頂角
- 合同な図形の対応する角は等しい
- いいえ。証明したい結論まで書く
次につながる単元
証明の型は中3の相似、円、三平方の活用でも使います。式変形と同じように、一行ごとの根拠を確かめる習慣が土台になります。
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とだ塾では、問題数を増やす前に、どの操作で止まったかを確認します。できるところまで課題を下げ、見る場所を絞って練習します。
図形の証明は、文章力よりも「型」を先に見る
証明が苦手な子は、急に長い文章を書こうとして止まります。まずは作文ではなく、仮定・結論・根拠・対応の4つに分けて見る方が安定します。
証明を書く前に確認する4点
- 仮定：問題文で最初から分かっていること。
- 結論：最後に示したいこと。
- 対応：どの三角形とどの三角形を比べるのか。
- 根拠：合同条件、平行線の錯角、共通な辺など。
この4つが出ないまま証明を書かせると、途中で「なんとなく同じ」と書いてしまいます。証明は感覚ではなく、根拠を順に並べる単元です。
つまずきやすいポイント
- 対応する角や辺の順番がずれる。
- 「見た目で等しい」を根拠にしてしまう。
- 合同条件の3つ目が足りないまま結論へ行く。
- 最後に「合同だから何が言えるのか」まで書けない。
家庭での確認方法
証明全文を書かせる前に、「どの三角形とどの三角形を比べるの？」「最後に何を示したいの？」だけ聞いてください。ここで答えられない場合、本文を書く練習よりも図への書き込みに戻した方がいいです。