中3数学「平方根」を基礎から解説｜根号・有理化・計算方法

平方根は「二乗するとその数になる数」です。√は計算できない数を放置する記号ではなく、正確な大きさを表す数の書き方です。

平方根の意味

9の平方根は3と-3です。どちらも二乗すると9になります。一方、√9=3であり、√9=±3ではありません。「平方根を求める」と「√を計算する」を区別します。

根号を簡単にする

√12=√(4×3)=2√3です。根号の中から、4、9、16、25のような平方数を探します。√18=3√2、√50=5√2です。

乗法・除法

√a×√b=√abを使います。√6×√15=√90=3√10です。答えは根号の中に平方数が残らないところまで簡単にします。

√12÷√3=√4=2です。分母に根号が残る場合は有理化します。

有理化

1/√3は分子と分母に√3を掛け、√3/3にします。値を変えないため、分子だけでなく分母にも同じ数を掛けます。

加法・減法

2√3+5√3=7√3ですが、√2+√3はまとめられません。根号の中が同じものだけが同類項です。√12+√27=2√3+3√3=5√3のように、先に簡単にします。

大小と近似値

2²=4、3²=9なので√7は2と3の間です。平方して近い整数を探すと、根号を小数に直さなくても範囲を判断できます。

よくある間違い

• 9の平方根を3だけとする
• √9を±3とする
• √a+√b=√(a+b)とする
• 根号内の平方数を外へ出し切らない
• 有理化で分子に掛け忘れる

どこまで戻ればよいか

1. 正負の数の二乗
2. 素因数分解
3. 分数の約分
4. 同類項
5. 平方数の暗記

確認問題

1. 16の平方根。
2. √72を簡単にする。
3. √8+√18を計算する。
4. 2/√5を有理化する。

次につながる単元

平方根は二次方程式、三平方の定理、座標上の距離で使います。根号の計算を単独で終わらせず、長さを正確に表す数として扱います。