一次関数で大切なのは、式・表・グラフを別々に覚えないことです。どれもxが変わったときyが一定の割合で変わる関係を表しています。
先に結論
y=ax+bで、aは変化の割合、bはx=0のときのyです。グラフではaが傾き、bがy軸との交点になります。
一次関数とは
y=2x+3では、xが1増えるたびにyが2増えます。この一定の増え方が変化の割合です。比例y=axはb=0の一次関数と見ることができます。
変化の割合
変化の割合=(yの増加量)÷(xの増加量)です。「増加量」は後の値−前の値なので、減少すると負になります。
xが1から4へ、yが7から-2へ変化したなら、(-2-7)÷(4-1)=-9÷3=-3です。
グラフの読み方
- a>0：右上がり
- a<0：右下がり
- b：y軸との交点のy座標
y=-2x+4なら(0,4)を取り、右へ1進むと下へ2進む点を取って直線を引きます。傾き-2を「右へ2、下へ1」と誤解しないよう、-2=-2/1と考えます。
二点から式を求める
(1,3)、(4,9)を通る直線では、a=(9-3)÷(4-1)=2です。y=2x+bへ(1,3)を代入し、3=2+bからb=1。よってy=2x+1です。
二直線の交点
二直線の交点は、二つの式を同時に満たす点です。y=2x+1とy=-x+7なら、2x+1=-x+7からx=2、y=5。交点は(2,5)です。これは連立方程式と同じ考え方です。
文章題
基本料金500円、1kmごとに100円増える料金y円は、距離x kmとしてy=100x+500です。aは1kmあたりの増加、bは距離0でも必要な固定量です。
よくある間違い
- aとbを逆に読む
- 変化の割合でxとyの引く順をそろえない
- 傾きが負なのに右上がりに描く
- 座標を(y,x)と書く
- 二点からaを求めた後、bを求めず終える
どこまで戻ればよいか
- 座標
- 文字式への代入
- 一次方程式
- 比例の式とグラフ
- 連立方程式
式・表・グラフの対応で止まる場合は、中1「比例・反比例」へ戻ります。
確認問題
- y=3x-2の傾きと切片。
- y=-2x+5でx=4のときのy。
- (1,2)、(3,8)を通る直線の傾き。
- y=x+1とy=-x+5の交点。
答えを確認する
- 傾き3、切片-2
- -3
- 3
- (2,3)
次につながる単元
一次関数は中3の二次関数、高校の関数全般へつながります。式を作ることとグラフを読むことを往復できる状態にします。
板宿・須磨区で中学数学の勉強を相談したい方へ
とだ塾では、問題数を増やす前に、どの操作で止まったかを確認します。できるところまで課題を下げ、見る場所を絞って練習します。
一次関数は「式・表・グラフ」を行き来できるかを見る
一次関数が苦手な子は、公式を知らないというより、式・表・グラフが同じ関係を表しているという接続で止まっていることが多いです。y = ax + b を覚えさせる前に、aとbが何を表すかを絞って確認します。
まず見るのは2つだけ
- a：xが1増えたとき、yがどれだけ増えるか。これが変化の割合。
- b：x = 0 のときの y。グラフではy軸との交点。
グラフ問題では、点をたくさん読むよりも、まず「右に1進んだら上にいくつ進むか」「y軸とどこで交わるか」を見ます。ここが読めれば、式を作る作業に入れます。
つまずきやすい順番
- 表から変化の割合を読む。
- グラフから切片を読む。
- y = ax + b に代入して式にする。
- 文章題で、何をx、何をyにするか決める。
いきなり文章題へ行くと、式を作る前に題意で止まります。まずは表とグラフで「変化の割合」と「切片」を分けて見るのが安全です。
家庭での確認問題
表で x が 1, 2, 3 と増えるとき、y が 5, 8, 11 と増える。このとき、変化の割合と式を答えなさい。
この問題で、yの増え方が3だと見えれば第一段階はOKです。式まで行けない場合は、y = 3x + b に1つの点を代入してbを出す練習に戻します。