中3数学「三平方の定理」を基礎から解説｜直角三角形・辺の長さ・空間図形

三平方の定理は、直角三角形の三辺を結ぶ関係です。公式を使う前に、直角があるか、斜辺はどれかを必ず確認します。

斜辺を見分ける

斜辺は直角の向かい側にあり、三辺の中で最も長い辺です。図の上下や傾きでは決まりません。直角記号から反対側をたどります。

斜辺を求める

直角をはさむ二辺が3と4なら、c²=3²+4²=25よりc=5です。長さなので負の値は取りません。

他の辺を求める

斜辺が13、他の一辺が5なら、x²+5²=13²。x²=144よりx=12です。斜辺の二乗から既知の辺の二乗を引きます。

よく使う比

• 45°・45°・90°：辺の比1:1:√2
• 30°・60°・90°：辺の比1:√3:2
• 整数の組：3・4・5、5・12・13

ただし比を使うときも、どの角の向かいがどの辺かを対応させます。

座標と空間図形

点(1,2)と(4,6)の距離は、横の差3、縦の差4を直角をはさむ辺として√(3²+4²)=5です。直方体の対角線は、底面の対角線を求め、さらに高さと組み合わせて二度使います。

よくある間違い

• 直角三角形でないのに使う
• 斜辺を図の一番上の辺だと思う
• a²+b²=c²のcに短い辺を置く
• 平方根を簡単にしない
• x²=25から長さx=-5も答える

どこまで戻ればよいか

1. 正方形と平方
2. 平方根
3. 直角三角形
4. 座標の差
5. 空間図形の見取り図

根号の計算で止まる場合は、中3「平方根」へ戻ります。

確認問題

1. 直角をはさむ辺が6、8のとき斜辺。
2. 斜辺が10、一辺が6のとき他の辺。
3. 一辺4cmの正方形の対角線。
4. 点(0,0)と点(5,12)の距離。

次につながる単元

三平方の定理は高校の三角比、ベクトル、座標幾何へつながります。公式暗記より、図の中に直角三角形を切り出す力が重要です。