中2数学「確率」を基礎から解説｜場合の数・樹形図・余事象

確率は、起こりそうな気分を数にする単元ではありません。起こりうる結果を漏れなく重複なく数え、そのうち条件に合うものを数えるのが基本です。

同様に確からしいとは

公平な硬貨なら表と裏、正しく作られたさいころなら1から6の各目は、同じ程度に起こると考えます。このとき場合の数の比で確率を求められます。

一方、くじの種類ごとに本数が違う場合、「種類」を一つずつ数えてはいけません。実際のくじ一本一本を同じ細かさで数えます。

樹形図で数える

硬貨を2回投げる結果は、表表、表裏、裏表、裏裏の4通りです。表裏と裏表は順序が違うので別の結果です。

樹形図では、一つ目の選択から枝を伸ばし、その先に二つ目の選択を書きます。途中で条件に合わない枝を勝手に消すと、分母が崩れます。

表を使う場合

二つのさいころでは、縦に一つ目の1〜6、横に二つ目の1〜6を書いた表が便利です。全部で6×6=36通り。和が7になるのは(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1)の6通りなので、確率は6/36=1/6です。

順序を区別するか

「A、Bから順に一人ずつ選ぶ」ならA→BとB→Aは別です。「二人を選ぶ」だけなら同じ組です。問題文に順番・役割・一回目と二回目の区別があるかを確認します。

少なくとも一回

「少なくとも一回表」は、0回以外すべてを含みます。硬貨を3回投げるとき、直接数えるより「1−一度も表が出ない確率」を使うと簡単です。1−(1/2)³=7/8です。

よくある間違い

• 分母だけ順序を区別し、分子では区別しない
• 樹形図の枝を途中で落とす
• 同様に確からしくないものを種類数だけで割る
• 「少なくとも」を「ちょうど」と読む
• 答えを約分しない

どこまで戻ればよいか

1. 分数の約分
2. 場合を一つずつ書き出す
3. 順序を区別するか確認する
4. 樹形図・表を選ぶ
5. 余事象を使う

確認問題

1. 硬貨を2回投げるとき、表が1回だけ出る確率。
2. さいころを1回投げ、4以上が出る確率。
3. 赤玉2個、白玉3個から1個取り出し、赤玉が出る確率。
4. 硬貨を3回投げ、少なくとも一回裏が出る確率。

次につながる単元

確率は中3の標本調査、高校の順列・組合せや条件付き確率へつながります。公式を増やす前に、何を一通りと数えたかを説明できるようにします。