中3数学「二次方程式」を基礎から解説｜因数分解・平方根・解の公式

二次方程式は、最高次数が2の方程式です。解き方は一つではありません。式の形を見て、最も短く安全な方法を選ぶことが重要です。

解とは

x²-5x+6=0にx=2を代入すると0、x=3を代入しても0になります。したがって解は2、3です。二次方程式には解が二つある場合、一つの場合、実数の範囲ではない場合があります。

因数分解で解く

x²-5x+6=(x-2)(x-3)です。積が0なら少なくとも一方が0なので、x-2=0またはx-3=0。よってx=2、3です。

平方根で解く

x²=7ならx=±√7です。(x-2)²=9ならx-2=±3なので、x=5、-1です。±を書き忘れると解を一つ落とします。

解の公式

ax²+bx+c=0の解は、x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)です。代入前にa、b、cを符号付きで特定します。2x²-3x-1=0ならa=2、b=-3、c=-1です。

公式を使った後も、根号と分数を簡単にします。因数分解できる式に毎回公式を使うと計算量が増え、ミスも増えます。

文章題

縦がx cm、横がx+3 cm、面積が40cm²ならx(x+3)=40です。x²+3x-40=0を解くとx=5、-8ですが、長さは正なので-8は問題に合わず除きます。

よくある間違い

• 右辺を0にせず因数分解する
• x²=aで±を付け忘れる
• 解の公式の-bで符号を誤る
• 分母2aを一部にしか付けない
• 文章題で負の解を条件確認せず採用する

どこまで戻ればよいか

1. 一次方程式
2. 展開
3. 因数分解
4. 平方根
5. 式の形による解法選択

積の形を作れない場合は、中3「展開と因数分解」へ戻ります。

確認問題

1. x²-7x+12=0を解く。
2. x²=11を解く。
3. (x+1)²=16を解く。
4. 2x²+x-3=0を解く。

次につながる単元

二次方程式は二次関数の交点、図形の辺の長さ、面積や動点の問題に使います。解いた後の条件確認までが一つの手順です。