50円玉2枚を100円玉1枚にしていい理由｜場合の数は「重複」を整理すると見えてくる

今回の問題はかなりシンプルです。

問題

10円玉2枚、50円玉3枚、100円玉4枚があります。
これらを使って、ちょうど支払える金額は何通りありますか？

最初に思いつくのは、

3 × 4 × 5 = 60通り？

という数え方です。

でも、これは違います。理由は、同じ金額になる組み合わせがあるからです。

50円玉2枚と100円玉1枚は同じ

50円玉2枚 = 100円

100円玉1枚 = 100円

つまり、50円玉を2枚使うことと、 100円玉を1枚使うことは、同じ金額を作っています。

例：

50円玉2枚 + 10円玉1枚 = 110円

100円玉1枚 + 10円玉1枚 = 110円

同じ110円を、別々の方法として二重に数えてしまう。これが「重複」です。

ここで数学では、

50円玉2枚 → 100円玉1枚

と考えます。

これは「勝手に変えている」のではありません。 同じ役割のものを整理しているだけです。

元の硬貨：
10円玉2枚、50円玉3枚、100円玉4枚

50円玉2枚を100円玉1枚にまとめると、

10円玉2枚、50円玉1枚、100円玉5枚

10円玉：3通り
50円玉：2通り
100円玉：6通り

3 × 2 × 6 = 36

ただし、全部使わない0円の場合は除くので、

36 – 1 = 35通り

10個の1 = 1個の10

50円玉2枚 = 100円玉1枚

どちらも、同じ価値になるものを上の単位にまとめているだけです。

数学は「計算」よりも、整理する力が大事です。

「やる気」ではなく、できることまで整理する。

数学が苦手な子ほど、“なんとなく”を放置しないことが大事です。