√a²＝|a|になるのはなぜ？√a²＝aではない理由を平方根から考える

平方根を勉強していると、

という式が出てきます。

「2乗とルートは反対の操作だから、\(\sqrt{a^2}=a\) でいいのでは？」と思いやすいところです。

でも、これはaが負の数になる可能性を考えると成立しません。まずは中学で習う「平方根」の意味から確認します。

9の平方根と√9は同じではない

9の平方根を聞かれたら、答えは

です。3も-3も、2乗すると9になるからです。

一方で、

です。

\(\sqrt{9}\) は「9の平方根を全部答えなさい」という意味ではなく、9の平方根のうち0以上の方を表します。

ここを区別できると、\(\sqrt{a^2}\)も見やすくなります。

√a²＝aとすると、aが負のとき困る

例えば、\(a=-3\) としてみます。

ところが、右辺をそのまま \(a\) とすると、

です。

左辺は3、右辺は-3になってしまうので、

は、いつでも成り立つ式ではありません。

左辺から考えると、場合分けが必要になる

「ルートと2乗を消す」と右から左へ機械的に見るのではなく、\(\sqrt{a^2}\)が何を表しているかを左辺から考えます。

aが0以上なら、2乗してから√を取ると元のaに戻ります。

一方、aが負なら、\(\sqrt{a^2}\)は0以上の値になるので、答えは \(-a\) です。

例えば \(a=-3\) なら、\(-a=3\) です。

この2つをまとめたものが|a|

絶対値 \(|a|\) は、aが0からどれだけ離れているかを表します。

そのため、

と表せます。

先ほどの \(\sqrt{a^2}\) の場合分けとまったく同じです。だから、

となります。

「2乗したものを√で戻すと元に戻る」と考えるより、2乗すると正負の情報が消えると考える方が本質に近いです。3も-3も2乗すれば9になるので、√を取っただけでは元がどちらだったかは分かりません。

大事なのは「全部の可能性を拾ったか」

この式は、場合分けの考え方を身につける入口にもなります。

aを見て無意識に「正の数」と決めてしまうと、\(\sqrt{a^2}=a\) としてしまいます。

でも文字には、問題文で条件がついていない限り、正・0・負の可能性があります。

そこで、

と確認する。

高校数学では、方程式・不等式・関数・確率など、さまざまな場面で場合分けが必要になります。最初から上手にできる必要はありませんが、「もう全部集めたかな？」と確認する癖は早い段階から持っておきたいところです。

公式を右から左へ読むだけにしない

\(\sqrt{a^2}=|a|\)をそのまま暗記しても問題は解けます。

ただ、左辺の意味から考えれば、忘れても戻れます。

1. aには正と負の可能性がある
2. a²にするとどちらも0以上になる
3. √は0以上の平方根を表す
4. だから答えはaの絶対値になる

数式をただ右から左へ変形するのではなく、その記号が何を意味しているかから考えることが大切です。

絶対値そのものが曖昧な場合は、「正負の数とは？」の絶対値の部分から確認しても構いません。

まとめ

• 9の平方根は3と-3だが、√9は3
• √は0以上の平方根を表す
• aが負のとき、√a²=aでは成立しない
• aの正負を場合分けすると、√a²は|a|になる
• 文字式では「他の可能性を落としていないか」を確認することが大切