大学入試の指数関数の問題です。
こんな感じで、\(f(x)\)とか、\(g(x)\)とか、さらにルートまで出てくると、かなり難しそうに見えますが、実はこの問題、指数のルールを一つずつ追いかけていくと、意外と単純に解くことができます。
今回は武庫川女子大学の問題を題材に、中学生でも考え方を追えるところから見ていきます。
まず \(f(x)=a^x\) って何？
まず、
とあります。
\(f(x)\)という記号が難しそうですが、これは簡単にいうと、「\(x\)を入れると、\(a^x\)が出てくる」という意味です。
そして、
とあります。
\(x\)のところに\(x+d\)を入れると、
となります。
指数の足し算は、掛け算に分けられる
ここで指数のルールを思い出してみましょう。
たとえば、
というのは、
と同じです。
実際、
で、
ですね。
同じように、
も、
と分けることができます。
なので、
両方にある\(a^x\)を消してあげると、
となります。
この、
は、あとで使うので覚えておきましょう。
次はさらに難しそうな \(g(x)\)
では、次に\(g(x)\)を見てみます。
ルートや分数が出てきて、さらに難しく見えますが、やることは先ほどとほとんど同じです。
\(x\)のところを\(x+d\)に変えると、
となります。
まずカッコを外して、
です。
すると、
先ほどと同じ指数のルールを使えば、
と分けることができます。
ここで前半をよく見てみると、
これは最初に出てきた、
そのものです。
なので、
となります。
あとは、この部分が何倍なのかを調べればいいわけです。
ここから少し高校数学らしい指数のルール
ここから少し高校数学らしい指数のルールを使います。
なので、
と表せます。
したがって、
は、
指数どうしを掛けて、
となります。
そして、これを少し形を変えると、
となります。
最初に作った \(a^d=2\) が戻ってくる
ここがこの問題の面白いところです。
最初に出てきた式を思い出してみましょう。
でした。
つまり、
の\(a^d\)を、そのまま2に置き換えることができて、
となります。
負の指数は逆数を表すので、
さらに、
なので、
分母を有理化すると、
となります。
よって、
となり、答えが求まりました。
この問題で使った指数法則
最初に問題を見ると、\(f(x)\)、\(g(x)\)、ルート、分数指数と、知らない記号がたくさん出てきて、かなり難しそうに見えます。
しかし実際には、
- 指数を足したものは掛け算に分けられる
- 累乗の累乗は指数を掛ける
- 負の指数は逆数になる
- 平方根は分数の指数で表せる
といったルールを、一つずつ順番に使っているだけです。
特にこの問題では、最初に作った
という式が、最後に
という形で再び現れるところが面白いですね。
高校数学は中学数学からつながっている
高校数学では記号そのものは難しくなっていきますが、一つ一つ分解してみると、中学校で習った計算の考え方からそのままつながっているものもたくさんあります。
たとえば、
と、
は、文字が増えただけで使っている考え方は同じです。
難しそうな式でも、まずは知っているルールを一つずつ使えないか、遊びながら考えてみてはいかがでしょうか。