中3数学「関数y=ax²」を基礎から解説｜グラフ・変化の割合・文章題

関数y=ax²では、xが2倍になるとyは4倍、xが3倍になるとyは9倍になります。一次関数と同じ直線ではなく、原点を頂点とする放物線になります。

式を決める

yはx²に比例するのでy=ax²と置きます。x=2のときy=12なら、12=4aからa=3。式はy=3x²です。

グラフの特徴

• 原点を通る
• y軸について対称
• a>0なら上に開く
• a<0なら下に開く
• |a|が大きいほど開き方が小さい

xと-xでは二乗が同じなので、yの値も同じです。点(2,8)があれば(-2,8)もグラフ上にあります。

変域

y=2x²で-1≦x≦3なら、xの端だけを代入してはいけません。x=0が範囲に含まれ、そこで最小値0を取ります。最大値は|x|が最も大きいx=3で18です。

変化の割合

y=ax²でxがpからqまで変化するとき、変化の割合はa(p+q)になります。これは(yの増加量)/(xの増加量)=a(q²-p²)/(q-p)=a(p+q)から分かります。

一次関数と違い、区間によって変化の割合が変わります。

文章題

自由落下の距離、制動距離、正方形の面積など、ある量が別の量の二乗に比例する場面があります。ただし現実の式を使う問題では、問題文に示された条件の範囲で考えます。

よくある間違い

• xが2倍ならyも2倍と考える
• aの正負と開く向きを逆にする
• |a|が大きいほど広いと考える
• 変域で端点だけを調べる
• 一次関数のように変化の割合が一定と考える

どこまで戻ればよいか

1. 座標と代入
2. 比例
3. 一次関数の傾き
4. 二乗の大小
5. 変域

式・表・グラフの対応で止まる場合は、中2「一次関数」へ戻ります。

確認問題

1. y=ax²が点(2,20)を通るときa。
2. y=-3x²のグラフは上・下のどちらに開くか。
3. y=x²で-2≦x≦1のときyの変域。
4. y=2x²でxが1から4まで変化するときの変化の割合。

次につながる単元

y=ax²は高校の二次関数の入口です。中学では原点を頂点とする形を使い、変域と変化の割合を丁寧に読みます。